SINDICATO NACIONAL DE TRABAJADORES DEL SEGURO SOCIAL
COMISIÒN NACIONAL DE CAPACITACIÒN TÈCNICA Y SUBPROFESIONAL
CENTRO NACIONAL DE EDUCACIÒN CAPACITACIÒN SINDICAL.
ESTADÍSTICA EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES
Plan de Trabajo de la cuarta semana
TERCER EXAMEN PARCIAL
UNIDAD 2
Tratamiento estadístico de la información de fenómenos naturales y procesos sociales.
Competencia.- Desarrollar modelos de estadística descriptiva que permitan analizar, ordenar, interpretar y explicar la información obtenida a partir de los fenómenos naturales y procesos sociales para predecir y entender estos hechos en tu contexto.
La Estadística descriptiva y su aplicación en la explicación de los fenómenos naturales y los procesos sociales.
Trabajaràs para interpretar y explicar el funcionamiento de los fenómenos naturales y procesos sociales dentro de tu contexto local y regional a través de los modelos de estadística descriptiva.
La Media aritmética o promedio muestral.
__
X = ∑ 1276 / 50 = 25.52
X ＜ Me
ejemplo para calcular la media, mediana y moda
Medidas de dispersión
1.- Desviación de la media.- (x1 -
)
Es una de las medidas de variabilidad màs utilizadas, mide el grado en que cada observaciòn de la muestra se desvìa de su correspondiente media aritmética o
_ _
promedio muestral ( x ), al restar x de cada observaciòn se proporciona un conjunto
de desviaciones de la media. ejemplo: (x1 - x), (x2 - ),(x3 - ), .......(xn - )
Una desviación en particular será positiva si el valor de X correspondiente es mayor que y negativo si el valor de x es menor que .
A mayor variabilidad en la muestra, mayores serán las magnitudes de las desviaciones. Ahora consideraremos cómo combinar las desviaciones en una sola medida de variabilidad. Lo primero es calculando la desviación promedio al sumar todas las desviaciones medias y se representa de la siguiente manera:
, y luego dividirla entre n. como la suma da cero, es la razón que limita la aplicabilidad de la desviación media como una mediada general de la variabilidad de un conjunto de datos muestrales.
Tratamiento estadístico de la información de fenómenos naturales y procesos sociales.
Competencia.- Desarrollar modelos de estadística descriptiva que permitan analizar, ordenar, interpretar y explicar la información obtenida a partir de los fenómenos naturales y procesos sociales para predecir y entender estos hechos en tu contexto.
La Estadística descriptiva y su aplicación en la explicación de los fenómenos naturales y los procesos sociales.
Trabajaràs para interpretar y explicar el funcionamiento de los fenómenos naturales y procesos sociales dentro de tu contexto local y regional a través de los modelos de estadística descriptiva.
Ejemplo: En cierto año el gobierno de Oaxaca inició un programa de cuidados médicos encaminados a la distribución de medicamentos gratuitos a personas de bajos recursos que no cuentan con algún tipo de seguridad social. Registros de la Secretaría de Salud estatal señalan que solo 24% de los beneficiarios en la capital del Estado se habían apuntado a solo dos semanas de la fecha límite de inscripción. Ante tal panorama, esta Secretaría decide revisar el funcionamiento del programa en los 50 municipios de la entidad. Los datos sobre el porcentaje de registro por municipio se presentan en la siguiente tabla:
Porcentaje de personas elegibles que se han inscrito al programa de medicamentos gratuitos en cada uno de los municipios del Estado
24
|
60
|
12
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38
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21
|
26
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23
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33
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19
|
19
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26
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60
|
16
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21
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28
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20
|
21
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41
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22
|
16
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29
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26
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22
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16
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48
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11
|
19
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13
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22
|
22
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30
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20
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21
|
34
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26
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20
|
25
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19
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17
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21
|
27
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19
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27
|
60
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20
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52
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20
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12
|
14
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18
|
Al analizar el cuadro, se observa la gran variabilidad en el porcentaje de personas elegibles que se han registrado en el programa en cada uno de los municipios. La observación lleva a cuestionarse si el 24% es una cifra representativa y por lo tanto concentra la mayoría de los valores de los porcentajes de registro a su alrededor, de no ser así, ¿Cuál sería un valor típico para este conjunto de datos?, ¿cómo podrían resumir la variabilidad numérica?, los porcentajes de registro varían mucho de municipio a municipio pues van desde un mínimo del 11% hasta un máximo del 60%. Se van a generar medidas que cuantifiquen el grado de dispersión de este conjunto de datos. las cuales vamos a estudiar a continuación:
Medidas de tendencia central: media, mediana ( moda)
La Media aritmética o promedio muestral.
La media aritmética o promedio muestral de un conjunto de datos numéricos, es el resultado de la suma de las observaciones, dividido entre el número de las mismas. y se representa por la siguiente fórmula:
__ n
X = ∑ Xi
i = 1 N
i = 1 N
∑ 24 +16+48+25+14+60+21+11+19+18+12+28+19+17+38+20+13+21+21+21+22+27+26+41+22+19+23+22+30+27+33+16+20+60+19+29+21+20+19+26+34+52+26+22+26+20+60+16+20+12 =
50
__
X = ∑ 1276 / 50 = 25.52
La probable desventaja potencial de la media aritmética o promedio muestral, como medida de tendencia central de un conjunto de datos, es que su valor puede verse afectado por la presencia de valores extremos o atípicos (observaciones muy grandes o muy pequeñas) en el conjunto de datos.
La Mediana.
Se define como la cantidad que divide al conjunto de datos en dos partes iguales, una vez que los valores se han enumerado de menor a mayor.
Si el número de datos es impar, la mediana es el valor medio.
Si en nùmero de datos es par, la mediana es igual al promedio de los dos valores medios.
Si el número de datos es impar, la mediana es el valor medio.
Si en nùmero de datos es par, la mediana es igual al promedio de los dos valores medios.
Calcular de la mediana con los datos que tenemos de nuestro ejemplo:
11, 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21,21, 21, 21, 21,22, 22, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 38, 41, 48, 52, 60, 60, 60,
En este caso como N es par, dividimos los dos valores centrales entre dos para obtener la mediana de la muestra, en este ejemplo son los valores de 21 y 22.
Mediana = 21 +22 = 43/2 = 21.5
2
El valor de la mediana no se ve afectado por los valores atípicos muy grandes o muy pequeños en el conjunto de datos.
La moda
Es otra medida de tendencia central y se define como el valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos, la moda no puede ser única ya que puede haber 2 o hasta 3 modas, o bien que no exista, en nuestro ejemplo:
La mediana es el valor en el eje X, que separa a la curva en dos partes iguales, con el 50% del área bajo la curva en cada parte cuando el histograma es simétrico, como en el caso de la curva de una distribución normal, aquí el punto de simetría es el punto de división de la curva en dos áreas iguales y además es el punto de equilibrio.
En este caso la media aritmética o promedio muestral, la mediana y la moda coinciden.
La moda
Es otra medida de tendencia central y se define como el valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos, la moda no puede ser única ya que puede haber 2 o hasta 3 modas, o bien que no exista, en nuestro ejemplo:
11, 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21,21, 21, 21, 21,22, 22, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 38, 41, 48, 52, 60, 60, 60,
Tenemos 3 modas: 19, 20 y 21 o trimodal
comparación entre media, mediana y moda
comparación entre media, mediana y moda
Por otro lado cuando el histograma tiene un solo pico (es unimodal) con una cola superior mas larga a la derecha, se dice que la gráfica tiene un sesgo positivo, los valores extremos de la cola superior jalan a la media aritmética o promedio muestral, por lo que generalmente ésta es mayor que la mediana.
_
X > Me
_
X > Me
Así mismo cuando el histograma tiene la cola superior mas larga a la izquierda, tiene un sesgo negativo y la media aritmética o promedio muestral es menor que la mediana. _
ejemplo para calcular la media, mediana y moda
Medidas de dispersión
1.- Desviación de la media.- (x1 -
)Es una de las medidas de variabilidad màs utilizadas, mide el grado en que cada observaciòn de la muestra se desvìa de su correspondiente media aritmética o
_ _
promedio muestral ( x ), al restar x de cada observaciòn se proporciona un conjunto
de desviaciones de la media. ejemplo: (x1 - x), (x2 -
),(x3 - ), .......(xn - ) Una desviación en particular será positiva si el valor de X correspondiente es mayor que
y negativo si el valor de x es menor que .A mayor variabilidad en la muestra, mayores serán las magnitudes de las desviaciones. Ahora consideraremos cómo combinar las desviaciones en una sola medida de variabilidad. Lo primero es calculando la desviación promedio al sumar todas las desviaciones medias y se representa de la siguiente manera:
, y luego dividirla entre n. como la suma da cero, es la razón que limita la aplicabilidad de la desviación media como una mediada general de la variabilidad de un conjunto de datos muestrales.
Varianza y Desviación estándar
Una manera de evitar que se eliminen las contribuciones negativas con las positivas es elevarlas al cuadrado antes de sumarlas. Al hacer esto, las contribuciones con diferente signo pero con la misma magnitud no se anulan, en general elevar las contribuciones al cuadrado equivale a elevar al cuadrado cada una de las desviaciones de la media, el cuadrado de estas desviaciones para muestras de tamaño n se presenta como:
(x1 -)², (x2 -)², ....(xn -)², su respectiva suma se representa:
(x1 -)² + (x2 -)² +(xn -)² + (xn -)² = Σ (x -)² , al dividir el resusltado de la suma por el tamaño de la muestra n, se obtiene la desviación cuadrada promedio. Aunque ésta parece ser una medida Σ (x -)² razonable de la variabilidad utilizaremos un divisor ligeramente menor a n, como lo sugiere la teoría de la estimación estadística y que se presenta a continuación:
La varianza muestral, representada como
Es la suma de los cuadrados de las desviaciones de la media aritmética o promedio muestral, divididas entre n - 1.
La desviación estándar muestral, es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral y se representa como s.
Una mayor variabilidad en la muestra da como resultado un valor relativamente grande de la varianza s² o de la desviación estándar s, mientras que un valor de s² o s, cercanos a 0 indica una menor variabilidad.
Como calcular medidas de tendencia central
Como calcular las medidas de dispersión
(varianza y desviación estándar)
ACTIVIDAD 9
Ejercicios para resolver
Las medidas de dispersión o variabilidad, informan sobre cuanto se elejan del centro los valores del conjunto de datos. La medición de variabilidad es un parámetro para comparar dos distribuciones de población.
ACTIVIDAD 10
Después de haber realizado los ejemplos anteriores, contesta la página 104 de tu libro de texto. tu puedes porque eres el mejor.
Competencia.- Comprobarás la posibilidad de ocurrencia de algunos fenómenos naturales y procesos sociales de tu entorno, para determinar su comportamiento, proponiendo estrategias de mejoras, mediante el uso de los tipos de distribución de probabilidad.
Distribución de probabilidad normal
Son aquellas distribuciones de probabilidad continuas o de curvas normales que tienen forma de campana y son simétricas, como se muestra en la siguiente figura:
El cálculo directo de estas probabilidades (áreas bajo la curva normal) es complejo, por lo que se utiliza una tabla de áreas para una distribución normal de referencia, llamada distribución normal estándar, y es una distribución normal con 
= 0 y σ = 1, la curva de densidad correspondiente también es denominada curva z o curva normal estándar. se acostumbra a utilizar la letra z como la variable para representar los posibles valores que puede tomar una distribución normal.
La distribución normal estándar
Para calcular la curva normal estándar, se utiliza una tabla con los valores acumulados bajo el área de la curva z para valores z* distintos de la variable z, que puedes consultar en el apèndice 4. de tu libro de texto. ejemplo:
OTRAS DISTRIBUCIONES NORMALES.
= 100 y desviación estándar σ = 5, entonces encontrar la probabilidad :
P ( 98
Z 107 ).
a b
Lo primero que se debe hacer es convertir este problema a uno equivalente a la distribución normal estándar de la siguiente manera:
a* = a - b* = b -
a* = 98- 100 = -2 = - 0.40
5 5
b* = 107 - 100 = 7 = 1.40
5 5
Entonces P ( 98 Z 107 ) = P ( - 0.40 Z 1.40 )
= (área de la curva a la izquierda de 1.40) - (área de la curva a la derecha de - 0.40)
= P (z 1.40) - P( z - 0.40) =
Ejemplo: En un estudio los parámetros de crecimiento fetal y peso al nacer: su relación con la composición corporal neonatal se sugiere que una distribución normal con media
= 3500 gramos y desviación estándar σ = 600 gramos, representa un modelo razonable para la distribución de probabilidad de variable numérica continua x= peso al nacer de un bebé recién nacido seleccionado al azar, ¿ Que proporción de pesos de recién nacidos está entre 2900 y 4700 gramos? Encontrar:
Fórmula de la distribución binomial
Una manera de evitar que se eliminen las contribuciones negativas con las positivas es elevarlas al cuadrado antes de sumarlas. Al hacer esto, las contribuciones con diferente signo pero con la misma magnitud no se anulan, en general elevar las contribuciones al cuadrado equivale a elevar al cuadrado cada una de las desviaciones de la media, el cuadrado de estas desviaciones para muestras de tamaño n se presenta como:
(x1 -
)², (x2 -)², ....(xn -)², su respectiva suma se representa:(x1 -
)² + (x2 -)² +(xn -)² + (xn -)² = Σ (x -)² , al dividir el resusltado de la suma por el tamaño de la muestra n, se obtiene la desviación cuadrada promedio. Aunque ésta parece ser una medida Σ (x -)² razonable de la variabilidad utilizaremos un divisor ligeramente menor a n, como lo sugiere la teoría de la estimación estadística y que se presenta a continuación:La varianza muestral, representada como
Es la suma de los cuadrados de las desviaciones de la media aritmética o promedio muestral, divididas entre n - 1.
La desviación estándar muestral, es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral y se representa como s.
Una mayor variabilidad en la muestra da como resultado un valor relativamente grande de la varianza s² o de la desviación estándar s, mientras que un valor de s² o s, cercanos a 0 indica una menor variabilidad.
Como calcular medidas de tendencia central
Como calcular las medidas de dispersión
(varianza y desviación estándar)
ACTIVIDAD 9
Ejercicios para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios obteniendo: media artimética o muestral, mediana, moda, varianza y desviación típica o estándar. así mismo realiza la actividad que se te pide en las páginas 104 y 105 de tu libro de texto. tu puedes porque eres el mejor, :)
1.- Un niño compra dulces a lo largo de una quincena, en las cantidades que se muestran:
calcular: media aritmética o muestral, mediana, moda, varianza y desviación típica o estándar.
2, 3, 6, 8, 11, 4, 7, 9, 3, 5, 8, 4, 5, 5, 7.
2.- Una persona compra gasolinas durante ochos días consecutivos en las siguientes cantidades, y quiere saber cual es la: media aritmética o muestral, mediana, moda, varianza y desviación típica o estándar
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
3.- 15 alumnos obtienen las siguientes calificaciones en la materia de Estadística:
6.6, 7.2, 5.0, 8.0, 8.4, 7.8, 4.4, 3.8, 5.5. 6.1, 6.8, 7.2, 6.8, 6.6 y 8.5, con estos datos obtener:
media aritmética o muestral, mediana, moda, varianza y desviación típica o estándar
ACTIVIDAD 10
Después de haber realizado los ejemplos anteriores, contesta la página 104 de tu libro de texto. tu puedes porque eres el mejor.
Las Distribuciones de Probabilidad como herramientas para estimar las probabilidades de eventos relacionados con fenómenos naturales y procesos sociales
Competencia.- Comprobarás la posibilidad de ocurrencia de algunos fenómenos naturales y procesos sociales de tu entorno, para determinar su comportamiento, proponiendo estrategias de mejoras, mediante el uso de los tipos de distribución de probabilidad.
Distribución de probabilidad normal
Son aquellas distribuciones de probabilidad continuas o de curvas normales que tienen forma de campana y son simétricas, como se muestra en la siguiente figura:
Los tipos de distribuciones normales se distinguen entre sí, por los valores de su media y de su desviación estándar σ.
y de su desviación estándar σ.
La media de una distribución normal ( ), describe donde está centrada la curva correspondiente; la desviación estándar ( σ ), define la dimensión de la curva cuando se extiende alrededor de ese centro. El área total bajo cualquier curva normal es igual a 1.
), describe donde está centrada la curva correspondiente; la desviación estándar ( σ ), define la dimensión de la curva cuando se extiende alrededor de ese centro. El área total bajo cualquier curva normal es igual a 1.
Si una distribución normal se utiliza como un modelo poblacional, su media (μ) y su desviación estándar (σ) deben especificarse.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Una distribución normal con = 3 y desviación estándar σ = 1 podrían usarse como modelo para la distribución del peso de niños recién nacidos.
= 3 y desviación estándar σ = 1 podrían usarse como modelo para la distribución del peso de niños recién nacidos.
" distribución normal para el peso de un recién nacido"
= 0 y σ = 1, la curva de densidad correspondiente también es denominada curva z o curva normal estándar. se acostumbra a utilizar la letra z como la variable para representar los posibles valores que puede tomar una distribución normal.La distribución normal estándar
Para trabajar con esta distribución es necesario saber calcular probabilidades o áreas bajo una curva normal estándar ( Z ), por encima de los intervalos dados de posibles valores para z.
Esta curva normal estándar (z), está centrada con = 0 y una desviación estándar σ = 1, este último valor se emplea como medida del grado en que posibles valores de la variable z se extienden alrededor de la media ( 0 ). Por ejemplo, alrededor del 95% del área se asocia con valores que están dentro de dos desviaciones estándar de la media ( entre -2 y 2 ) y casi toda el área de la zona de los valores están dentro de tres desviaciones estándar alrededor de la media (entre -3 y 3)
= 0 y una desviación estándar σ = 1, este último valor se emplea como medida del grado en que posibles valores de la variable z se extienden alrededor de la media ( 0 ). Por ejemplo, alrededor del 95% del área se asocia con valores que están dentro de dos desviaciones estándar de la media ( entre -2 y 2 ) y casi toda el área de la zona de los valores están dentro de tres desviaciones estándar alrededor de la media (entre -3 y 3)
Calcular el área bajo la curva z a la izquierda de 1.42, buscamos en la fila z' el valor de 1.4 y después la columna con el valor 0.02, el resultado es la intersección de la fila con la columna, cuyo valor es 0.9222
En esta tabla el valor mas pequeño de Z* es - 3.89, el siguiente es -3.88, y asì sucesivamente en incrementos de 0.01 terminando con el àrea acumulada total a la izquierda de 3.89 de 1 o 100%
Nota.- solo se pueden obtener valores a la izquierda del valor solicitado, cuando queramos calcular valores a la derecha del mismo, a 1, se le resta el valor obtenido de tablas. como un complemento.
Hay casos en que Z se encuentre entre dos valores, por ejemplo: Calcular la probabilidad de que Z estè entre - 1.76 y 0.58, esto se resuelve de la siguiente manera:
P(-1.76 ＜ Z ＜ 0.58) = P(z ＜ 0.58) - P(z ＜ - 1.76)
= 0.7190 - 0.0392
= 0.6798 ➡️ 67.98%
En esta tabla el valor mas pequeño de Z* es - 3.89, el siguiente es -3.88, y asì sucesivamente en incrementos de 0.01 terminando con el àrea acumulada total a la izquierda de 3.89 de 1 o 100%
Nota.- solo se pueden obtener valores a la izquierda del valor solicitado, cuando queramos calcular valores a la derecha del mismo, a 1, se le resta el valor obtenido de tablas. como un complemento.
Hay casos en que Z se encuentre entre dos valores, por ejemplo: Calcular la probabilidad de que Z estè entre - 1.76 y 0.58, esto se resuelve de la siguiente manera:
P(-1.76 ＜ Z ＜ 0.58) = P(z ＜ 0.58) - P(z ＜ - 1.76)
= 0.7190 - 0.0392
= 0.6798 ➡️ 67.98%
OTRAS DISTRIBUCIONES NORMALES.
Se usará la letra Z solo para aquellas variables que tienen una distribución normal estándar y la letra X, para cualquier variable cuya distribución se describe mediante una curva normal con media y desviación estándar σ.
Por ejemplo: si la variable x tiene una distribución normal con media y desviación estándar σ. = 100 y desviación estándar σ = 5, entonces encontrar la probabilidad :P ( 98
Z 107 ).a b
Lo primero que se debe hacer es convertir este problema a uno equivalente a la distribución normal estándar de la siguiente manera:
a* = a -
b* = b -
σ σ
a* = 98- 100 = -2 = - 0.40
5 5
b* = 107 - 100 = 7 = 1.40
5 5
Entonces P ( 98
Z 107 ) = P ( - 0.40 Z 1.40 )= (área de la curva a la izquierda de 1.40) - (área de la curva a la derecha de - 0.40)
= P (z
1.40) - P( z - 0.40) =
= 0.9192 - 0.344 6 = 0.5746
Ejemplo: En un estudio los parámetros de crecimiento fetal y peso al nacer: su relación con la composición corporal neonatal se sugiere que una distribución normal con media
= 3500 gramos y desviación estándar σ = 600 gramos, representa un modelo razonable para la distribución de probabilidad de variable numérica continua x= peso al nacer de un bebé recién nacido seleccionado al azar, ¿ Que proporción de pesos de recién nacidos está entre 2900 y 4700 gramos? Encontrar:
P( 2900 x 4700 )
x 4700 )
a = 2900 - 3500 = - 600 = - 1.00 b = 4700 - 3500 = 1200 = 2. 00
600 600 600 600
Entonces tenemos:
P( 2900 x 4700 ) = P ( -1 z 2.00 ) = ( área de la curva z a la izquierda de 2.00) - ( área de la curva z a la izquierda de -1 ) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185
x 4700 ) = P ( -1 z 2.00 ) = ( área de la curva z a la izquierda de 2.00) - ( área de la curva z a la izquierda de -1 ) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185
esto significa que si se midieran los pesos al nacer para muchos bebés de esta población, el peso del 82% de ellos se situaría entre 2900 y 4700 gramos.
¿ Cuál será la probabilidad de que un niño elegido al azar tenga un peso al nacer mayor de 4500 gramos?
a = 4500- 3500 = 1000 = 1.67
600 600
Entonces P ( x
4500) = P ( z 1.67 ) = ( área de la curva z a la derecha de 1.67 )
4500) = P ( z 1.67 ) = ( área de la curva z a la derecha de 1.67 )
= 1 - (área de la curva z a la izquierda de 1.67)
= 1 - 0.9525
= 0. 0475
Esto indica que el 4.75% es la probabilidad de que un niño elegido al azar tenga un peso al nacer mayor de 4500 gramos.
Distribución de probabilidad binomial
( características)
1.- El experimento consiste en n ensayos idénticos.
2.- Cada ensayo o intento da lugar exactamente a dos resultados ( C o F )
3.- Los n ensayos son independientes, el resultado obtenido de cada registro es independiente de los otros.
4.- La probabilidad de éxito, no varía de un ensayo a otro, P = éxito, en consecuencia el fracaso es representado por q = 1 - p
Fórmula de la distribución binomial
=
= (1)( 1) (0.0016) + (4)(0.8)(0.008) + (6)(.64)(0.04)
= 0.0016 + 0.0256 + 0.1536
= 0.1808 = 18.08 %
ACTIVIDAD 11
= 0.0016 + 0.0256 + 0.1536
= 0.1808 = 18.08 %
ACTIVIDAD 11
Resuelve los siguientes ejercicios de distribución binomial, recuerda que debes entregarlos en hojas anexas, tu puedes porque eres el mejor. :)
- La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, esté defectuoso, es 0.12. Si se revisan 5 aparatos, calcular:
2. En cierta localidad, el 25% de los hogares tiene un seguro multiriesgo del hogar. Una compañía de seguros selecciona al azar 20 hogares
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya más hogares sin asegurar que asegurados?
- ¿Cuál es la probabilidad de que todos los hogares estén asegurados?
- ¿Qué probabilidad hay de que no haya ningún hogar asegurado?
- Una persona apuesta que en 12 lanzamientos de una moneda obtendrá exactamente seis caras. ¿Cuál es su probabilidad de ganar?
- Un examen consta de 10 preguntas con cuatro posibles respuestas, de las cuales solamente una es correcta. Un alumno que no ha estudiado las contesta al azar. ¿Qué probabilidad tiene de contestar bien al menos 5 preguntas? ¿Cuál es el número medio de respuestas que puede esperar obtener?
- Una bolsa opaca contiene 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se saca al azar una bola, se anota su color y se devuelve a la bolsa. Si repetimos 8 veces esta experiencia, calcula la probabilidad de obtener:
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